An Investigation of discretization errors for mesh centered finite difference approximations to the transport equation using a spherical harmonic expansion of the flux

Fletcher, J. K.

PNC TN9410 97-065, 25 Pages, 1997/07

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位置r、単位方向ベクトルの中性子束を(r, )と定義すると、多群輸送方程式は次式で表される。ただし、t(r)、はそれぞれ、全断面積、方向1 からへの散乱断面積、生成断面積を表し、また、は臨界係数を、(r,)は外部中性子源を表す。そして、この方程式を次の球面調和関数展開を用いて解く。ここで、(cos )はオーダーのルジャンドル陪関数で、とはそれぞれ方向の仰角及び方位角を表す。NはPN近似の次数を表す。三角関数の多項式である球面調和関数の直交性と漸化式を用いることにより、展開係数とに関する1階の微分方程式が導かれる。が奇数の項を消去することにより、拡散方程式の場合に用いられるような通常の有限差分法により解くことの可能な、2次の微分方程式が導かれる。メッシュ誤差低減は、その記述式の高次の差分項を保持したまま、2次式を用いて数値的に近似することにより行われる。当手法の採用により、メッシュ誤差は大幅に減少され、他の手法、特にモンテカルロ法により得られたものに匹敵する結果を直接計算することが可能となった。

選点直交性を考慮した球面調和展開法

熊沢 蕃

電子通信学会論文誌,A, 61-A(10), p.1053 - 1054, 1978/00

本稿は、球座標系での等間隔標本点データから離散型球面調和展開係数を求めるのに、調和成分の選点直交性を考慮する方法について述べてある。天頂角(0~)をN等分、方位角(0~2)をN等分し、標本点st=(s/N,2t/N)、(s=1,…,N-1,t=0,…,N-1)とすると、標本点の総数N=(N-1)Nである。従って、N次の連立一次方程式からN個の展開係数が求められる。然るに、離散型球面調和関数をフーリエとルジャンドル成分に分解して、これらの調和関数に部分的な選点直交性のあることを示すことができる。これにより、N個の展開係数は、2N個の高々〔N/2〕次の連立一次方程式を解くことにより求められることが示される。本稿は器官線量や検出器の方向依存性を球面調和展開するにあたり、従来必ずしも明らかではなかった標本点データに基づく解析法を明らかにする取り組みの一つである。この展開法を用いることにより、器官線量や検出器の方向依存性を簡単に評価することができる。